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Navidad 2014

Desde el Departamento de Matemáticas deseamos a todos los devotos lectores de estas páginas unas felices Navidades y un próspero año 2015.

Para celebrarlo os dejamos estas simples instrucciones para enseñar el dibujo de las funciones básicas del Análisis a los niños, de forma amena y simpática, desde su más tierna infancia… porque quien siembra, recoge. 🙂

funciones

P.D. Muchas gracias E.

Canción del verano 2013

Con un poco de retraso pero aquí llega la edición de este año de la canción matemática del verano.

Para empezar una cumbia llena de ritmo.

Seguimos con un trabajo de clase en vídeo de esos a los que los estadounidenses son tan aficionados (es decir, que en poco tiempo estarán de moda en España).

Y para terminar, una curiosa versión de American Pie, que no puede tener otro título que Mathematical Pi…

Canción del verano 2012

Después de este cursus horribilis vamos a continuar con las viejas tradiciones, como la que iniciamos el pasado curso… la canción del verano.

Os dejamos estas cuatro muestras de la estrechísima relación existente entre las artes musicales y matemáticas. Espero que os gusten.

Para empezar todo un clásico de los setenta… en versión analítica.

La próxima canción no necesita subtitulos… veréis porque.

Aquí tenéis la versión rumbera del tema anterior.

Y terminamos con esta preciosa canción… aunque necesita un nivel alto de matemáticas para disfrutarla en toda su dimensión (dejo debajo la traducción que he obtenido en la página “gaussianos.com”).

The path of love is never smooth
But mine’s continuous for you
You’re the upper bound in the chains of my heart
You’re my Axiom of Choice, you know it’s true

But lately our relation’s not so well-defined
And I just can’t function without you
I’ll prove my proposition and I’m sure you’ll find
We’re a finite simple group of order two

I’m losing my identity
I’m getting tensor every day
And without loss of generality
I will assume that you feel the same way

Since every time I see you, you just quotient out
The faithful image that I map into
But when we’re one-to-one you’ll see what I’m about
‘Cause we’re a finite simple group of order two

Our equivalence was stable,
A principal love bundle sitting deep inside
But then you drove a wedge between our two-forms
Now everything is so complexified

When we first met, we simply connected
My heart was open but too dense
Our system was already directed
To have a finite limit, in some sense

I’m living in the kernel of a rank-one map
From my domain, its image looks so blue,
‘Cause all I see are zeroes, it’s a cruel trap
But we’re a finite simple group of order two

I’m not the smoothest operator in my class,
But we’re a mirror pair, me and you,
So let’s apply forgetful functors to the past
And be a finite simple group, a finite simple group,
Let’s be a finite simple group of order two
(Oughter: “Why not three?”)

I’ve proved my proposition now, as you can see,
So let’s both be associative and free
And by corollary, this shows you and I to be
Purely inseparable. Q. E. D

El camino hacia el amor nunca es
suave
Pero el mio es continuo para ti
Eres la cota superior en la cadena de mi corazon
Eres mi Axioma de Eleccion, sabes que es verdad

Pero sin embargo, nuestra relacion no está bien definida
Y no puedo calcular esa funcion sin ti
Voy a demostrar mi proposicion y estoy seguro de que la entenderas
Somos un grupo simple y finito de orden dos

Estoy perdiendo mi identidad
Estoy obteniendo el tensor cada dia
Y sin perdida de generalidad
Asumo que sientes en ese mismo modo

Porque cada vez que te veo, simplemente sacas el
cociente
La imagen fiel que he mapeado en mi
pero cuando estemos uno a uno podras ver que hay en mi
Porque somos un grupo simple finito de orden dos

Nuestra equivalencia es estable
Un conjunto principal de amor asentado profundamente
Pero entonces introdujiste una discontinuidad entre nuestras dos formas
Ahora todo se ha vuelto complejo

Cuando hablamos la primera vez, simplemente conectamos
Mi corazon esta abierto pero es demasiado denso
Nuestro sistema ya fue dirijido
para tener un limite finito, en algun sentido

Vivo en el nucleo de rango uno
Desde mi dominio, la imagen parece tan deprimente,
Porque todo lo que veo son ceros, es una trampa cruel
Pero somos un grupo simple finito de orden dos

No soy el mas suave de los operadores en mi clase
pero somos imagenes, tu y yo
Asi que dejame aplicar los operadores de olvido al pasado
y seamos un grupo simple finito, seamos un grupo simple finito
vamos a ser un grupo simple finito de orden dos
(En el publico: “Porque no de orden tres?”)

He demostrado mi proposicion, como puedes ver
asi que seamos ambos asociativos y libres
Corolario: Esto demuestra que tu y yo podemos ser
puros e inseparables. C.Q.D (Como quería demostrar)

Navidad 2011

Desde el Departamento de Matemáticas os deseamos una feliz Navidad y un próspero año 2012 con este curioso copo de nieve, también llamado “estrella de Kock“.

En la siguiente imagen veréis la forma de construirlo. Os dejo una cuestión: ¿Cuánto mide su perímetro cuando el número de iteraciones se hace muy, pero que muy grande?

Más información AQUÍ

La canción del verano

¿Recordáis lo importante que era en nuestras vidas la canción del verano?

En el Departamento de Matemáticas hemos querido recuperar esa tradición y, con la colaboración de nuestro compañero Miguel Ángel Núñez, máximo accionista y director de la mítica emisora Channel Chazel, os lanzamos la siguiente propuesta de canción del verano para este 2011. ¡¡¡Todo un clásico!!!

PINCHA AQUÍ PARA ESCUCHAR LA CANCIÓN …(y, por si no te lo sabes aun, aprenderte el Teorema de Pitágoras)… ¡Ah!, y no te pierdas el dibujo que sostiene en sus manos Adriano Celentano.

Para los que disfrutabais más de las versiones que se hacían por aquí de los éxitos italianos, aquí está la canción en español por los Hooligans, de México.

Resuelto el problema de los conjuntos generalizados de Sidon

Hace pocos días apareció en los medios de comunicación la noticia de que un grupo de matemáticos de la Universidad Autónoma de Madrid habían resuelto un problema de “teoría de números” que se planteo hace casi 80 años, el problema de los conjuntos de Sidon. Se da la circunstancia de que uno de los miembros del equipo que lo ha resuelto, Javier Cilleruelo, es vecino de Colmenar Viejo.

Aquí os dejo una pequeña explicación del problema.

Los conjuntos de Sidon son conjuntos de enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas.

Por ejemplo, {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35} es un conjunto de Sidon mientras que  {1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35} no lo es porque aparecen sumas repetidas: 1+23=7+17.

¿Cuál es el mayor tamaño que puede tener un conjunto de Sidon en {1, . . , n}? ¿Y si permitimos que cada suma pueda aparecer hasta g veces? (conjuntos g-Sidon)

Este fue el problema planteado en 1932 por Simon Sidon, un analista húngaro, a Paul Erdos. Aunque el interés de Sidon por estos conjuntos tenía que ver con cuestiones del análisis, el problema cautivó a un joven Erdös por su vertiente aritmética y combinatoria, y se convertiría en un tema recurrente en su investigación. Erdös fue uno de los grandes matemáticos del siglo XX y el más prolífico de todos los tiempos, solo superado por Euler.

Mientras el problema para el caso g=1, donde todas las sumas son distintas, no tardó mucho en resolverse por el propio Erdös, determinar el tamaño de estos conjuntos para valores mayores de g, ha sido un misterio desde entonces y ha atraído la atención de muchos matemáticos, entre otros de Paul Erdos y de Ben Green. Este último es mundialmente conocido por haber demostrado, junto al medalla Fields, Terence Tao, que la sucesión de los primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa e Imre Ruzsa han resuelto finalmente este problema en el artículo “Generalized Sidon Sets” (Advances of Mathematics, vol 225, nº5  (2010)), utilizando nuevas herramientas probabilísticas, algebraicas y combinatorias. El resultado ha sido inesperado porque se pensaba que los conjuntos g-Sidon en {1,…, n} no podían ser tan grandes como finalmente se ha demostrado.

Los matemáticos que han llegado al resultado son:

Javier Cilleruelo                             Imre Ruzsa                                 Carlos Vinuesa

Javier Cilleruelo es miembro del Departamento de Matemáticas y del Instituto de Ciencias Matemáticas y es el responsable del grupo de teoría combinatoria de números.

Carlos Vinuesa, estudiante de Javier, está en la actualidad realizando una estancia posdoctoral en Cambridge con el profesor Ben Green.

Imre Ruzsa es miembro de la prestigiosa Academia de Ciencias de Hungría y uno de los mayores expertos en teoría combinatoria de números.

Sobre conjeturas matemáticas

Las conjeturas son uno de los temas que más apasionan a los aficionados a las matemáticas pues encierran buena parte de la magia y del romanticismo que posee esta ciencia.

Por conjetura (del latín coniectūra) se entiende el juicio que se forma (moral, ético o matemático) de las cosas o sucesos por indicios y observaciones. En la Matemática, el concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Una vez se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.

Aquí os dejo cuatro enlaces a artículos que explican (a nivel entendible) algunas de las conjeturas más famosas de la historia, dos de ellas recientemente demostradas.

Conjetura de Goldbach. Dice algo tan sencillo como… todo número par mayor que dos se puede descomponer como suma de dos números primos… pero lleva más de 250 años sin que nadie la haya conseguido probar… ¡o refutar!.

Último teorema de Fermat (demostrada por Andrew Wiles en 1995). Muy sencilla de entender, uno de los teoremas más famosos de la historia de las matemáticas.

Conjetura de Poincaré (demostrada por Grigori Perelman en 2002). Más complicada de entender pero muy popular últimamente debido a la personalidad de Perelman (¿os parece raro que alguien rechace un millón de dólares de premio?).

Hipótesis de Riemann. Probablemente el problema matemático más importante de nuestros tiempos (aunque bastante complicado de entender, ¡que le vamos a hacer!). Para entender mejor (o peor) el problema, consulta AQUÍ la wikipedia.